Scattering
| Teoria dello scattering |
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Acceleratore di particelle
Scattering Rutherford Effetto Compton Annichilazione e- e+ Produzione di coppia Teoria dei propagatori Matrice S Regole di Feynman Diagrammi di Feynman Sezione d'urto |
| Fisica |
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In fisica lo scattering (o diffusione) si riferisce ad un'ampia classe di fenomeni dove una o piů particelle vengono deflesse (ovvero cambiano traiettoria) per via della collisione con altre particelle.
In ottica ed in astrofisica di solito il fenomeno dello scattering č riferito alla dispersione della luce da parte di oggetti macroscopici (come gli asteroidi) o microscopici come il pulviscolo o gli atomi che formano un gas. Un esempio molto comune di scattering della luce č dato dal colore blu del cielo: la luce (bianca) del sole incide sull'atmosfera terrestre la quale diffonde con piů facilitĂ le frequenze piů alte (ovvero piů vicine all'ultravioletto); di conseguenza, mentre la luce bianca ci arriva direttamente se guardiamo dritti nel sole, la luce blu diffusa ci sembra provenire da tutte le direzioni. Un'altro esempio tipico č il colore bianco del latte o delle nuvole: in questo caso tutte le frequenze vengono diffuse uniformemente e, siccome il processo si ripete moltissime volte all'interno del mezzo, non č piů riconoscibile la direzione di provenienza della luce ed il mezzo assume un colore bianco opaco.
Il processo di scattering non include alcun tipo di assorbimento o emissione.
= Cenni teorici =
La teoria che sta alla base degli esperimenti con una diffusione finale si basa sul calcolo della sezione d'urto, una misura dell'area coperta dalle particelle presenti nello stato finale (le particelle deflesse o sparpagliate). Una sua semplice definizione č il rapporto tra il numero di particelle che vengono deviate nell'angolo solido (dΩ) in 1 secondo e il numero di particelle che in 1 secondo attraversano l'unitĂ di superficie.
Detto b il parametro d'impatto (le dimensioni del bersaglio o il raggio dell'interazione studiata), un buon modo di vedere la sezione d'urto č uguagliando la superficie a disposizione del fascio prima e dopo l'impatto:
Un semplice esempio di scattering può essere l'urto contro una sfera rigida. In questo caso il parametro d'impatto sarà :
Ora, poichĂ© la simmetria č sferica, la prima equazione si riduce a:
| Table of contents |
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2 Lo scattering Thomson non-lineare 3 Approssimazione di mezzo efficiente 4 Approssimazione diffusiva 5 Ottica mesoscopica 6 Bibliografia |
La sezione d'urto, però, può essere calcolata anche e soprattutto utilizzando la meccanica quantistica. In questo caso ci si dovrĂ dimenticare del paramentro d'impatto, essendo legato al concetto di traiettoria, non sempre definibile in quantistica. Da un punto di vista operazionale, bisogna innanzitutto saper distinguere un caso in cui può essere applicato l'approccio classico fin qui visto da uno in cui č necessario applicare l'approccio quantistico. Il discriminante č, giustamente, l'energia, e piů precisamente si distingue tra le alte energie, in cui va bene il regime classico (ottica fisica, ovvero la lunghezza d'onda de Broglie della particella incidente λ>>L dimensioni della targhetta), mentre alle basse energie si applicherĂ il regime quantistico (ottica geometrica, λ<<L).
Per rappresentare i fasci di particelle bisogna, necessariamente, utilizzare le così dette funzioni d'onda. Il fascio incidente, ad esempio, può essere caratterizzato da una funzione del tipo onda piana:
Questa funzione č la soluzione asintotica dell'equazione di Schrodinger, ovvero fotografa la situazione molto prima e molto dopo l'urto. L'informazione su quest'ultimo sarĂ contenuta all'interno del fattore f (θ, φ).
Innanzitutto č bene sapere che le funzioni d'onda possono essere descritte attraverso alcuni numeri quantici, tra cui il numero quantico azimutale l, che può assumere solo valori interi positivi. Per scrivere la sezione d'urto, però, č piů che sufficiente fermarsi allo sviluppo in onda S, ovvero con l=0. In questo caso la funzione d'onda totale risulta essere:
L'approccio quantistico
Per il fascio deflesso si utilizzerĂ un'onda sferica:
La funzione d'onda complessiva risulta quindi:
dove si č scelto di chiamare z la direzione privilegiata, ovvero quella lungo il quale si svolge l'urto (la direzione del fascio incidente).
dove
Ora, poichĂ© in onda S una possibile funzione totale soluzione dell'equazione di Schrodinger libera č l'armonica sferica
si può tranquillamente affermare che mentre la parte entrante (con il segno -) rimane invariata, quella uscente viene alterata di un vettore S, comunemente detto matrice S, poichĂ© in problemi d'urto complessi diventa una matrice. Tra le proprietĂ si S c'č che il suo quadrato vale l'identitĂ e poi risulta essere unitaria.
Ora, dall'equazione di continuitĂ , posta nulla la variazione di densitĂ di carica nel tempo, si ottiene che il flusso di corrente č pari a:
- S = e2iδ
Manipolando, quindi, la uk si ottiene per il fattore f una semplice espressione dipendente da δ:
dove n č il numero di centri di scattering presenti, d il loro diametro, m il loro indice di rifrazione e la lunghezza d'onda della luce incidente.
= Lo scattering di Mie = Nel caso in cui le particelle responsabili dello scattering della luce siano sfere perfette esiste una soluzione matematicamente rigorosa per le equazioni che regolano lo scattering singolo detta soluzione di Mie dal nome dello scopritore.
= Lo scattering di Compton =
Osservato per la prima volta da Arthur Compton nel 1922 divenne ben presto uno dei capisaldi per la descrizione quantistica della luce.
Compton osservò che fotoni di alta energia (fra gli 0,5 ed i 3,5 MeV) che passavano all'interno di un materiale subivano una perdita di energia ovvero viravano verso il rosso.
Questo effetto, detto effetto Compton, può essere semplicemente spiegato se si pensa ai fotoni come a particelle che urtano elasticamente contro gli elettroni presenti negli atomi cedendogli energia. Accettare questa spiegazione vuole però dire abbandonare la teoria ondulatoria della luce descritta dalle equazioni di Maxwell in favore di una teoria corpuscolare della luce che non dĂ conto degli effetti di interferenza (giĂ ben noti all'epoca). La soluzione del paradosso č stata l'introduzione di una teoria quantistica della luce.
= Lo scattering Thomson =
= Lo scattering di Coulomb =
Lo scattering coulombiano prende il suo nome dal fatto che l'unica forza che si esercita sulle particelle č la forza di Coulomb. Questo tipo di scattering č noto anche come
scattering Rutherford dal celeberrimo esperimento compiuto da Ernest Rutherford nel 1911 allorquando inviò un fascio di particelle alfa (un nucleo di elio) contro una collezione di atomi d'oro (una lamina sottile). L'idea era quella di determinare la struttura dell'atomo e capire se la sua struttura era quella supposta da Thomson (atomo senza nucleo, noto anche come atomo a panettone) o se c'era qualcosa di diverso.
In particolare, se l'atomo avesse avuto un nucleo al suo interno separato dagli elettroni esterni, allora si sarebbero dovuti osservare anche eventi, ovvero particelle, a grande angolo di deviazione. Ottenuti, effettivamente, questi risultati, il fisico neozelandese concluse allora che l'atomo era costituito da un centro piccolo ma con alta densitĂ di carica circondato da una nuvola elettronica.
= Lo scattering di Brillouin =
Quando la luce propagantesi in un mezzo (aria, acqua, cristalli ecc.) trova una variazione di indice di rifrazione può subire un urto (spesso anelastico) e cambiare la propria direzione di propagazione. Questo tipo di urto č chiamato scattering di Brillouin.
In seguito allo scattering di Brillouin la luce può subire uno spostamento in frequenza di alcuni GHz (shift di Brillouin).
= Lo scattering Raman =
Lo scattering Raman (dal nome del suo scopritore C.V. Raman che nel 1928 lo osservò per primo) č un esempio di scattering anelastico, ovvero di un urto fra particelle dove l'energia cinetica complessiva del sistema non si conserva (l'energia totale del sistema si conserva in tutti i tipi di urti). Nello scattering Raman un fotone incidente su di una molecola può essere assorbito per dare vita ad un fonone (quanto di oscillazione) o può annichilirne uno, sottraendo energia al materiale, e cambiare così la propria frequenza.
= Lo scattering multiplo =
Si definiscono fenomeni di scattering multiplo quei casi dove le particelle (o la luce) subiscono, all'interno del mezzo, un numero molto alto di eventi di scattering. In questi casi gli effetti complessivi sono spesso dominati piů da effetti di media che dalle proprietĂ particolare dei singoli eventi.
Quando sia le dimensioni degli scatteratori che il cammino libero medio sono molto minori della lunghezza d'onda della luce questa non č in grado di risolvere le variazioni microscopiche della polarizzabilitĂ e quindi vede un mezzo omogeneo. In questo caso vale l'approssimazione di mezzo efficiente, ovvero si può pensare di sostituire al mezzo reale un mezzo omogeneo le cui caratteristiche (prima fra tutte l'indice di rifrazione) dipendono fortemente dalle proprietĂ microscopiche del mezzo reale. Quest'approssimazione č valida per quasi tutti i solidi ed i liquidi poichĂ© le distanze interatomiche sono solitamente molto minori della lunghezza d'onda della luce e porta, come soluzione, alle ben note leggi dell'ottica geometrica. Al contrario quest'approssimazione non č quasi mai verificata per lo scattering multiplo delle particelle perchĂ© la lunghezza d'onda dell'onda di Schrödinger ad esse associata č dell'ordine delle distanze interatomiche.
Quando il cammino libero medio č molto maggiore della lunghezza d'onda della luce i singoli eventi di scattering possono essere considerati come indipendenti e casuali. A meno che la sezione d'urto non abbia delle divergenze (come accade ad esempio nei cristalli liquidi) il teorema del limite centrale ci dice che la sezione d'urto media vista dalla luce sarĂ di tipo gaussiano e quindi potremo descrivere la propagazione della luce tramite l'equazione di diffusione.
Lo scattering Thomson non-lineare
In particolare le variazioni di indice di rifrazione possono essere dovute, specialmente nei mezzi comprimibili ma anche nelle strutture cristalline, da onde di tipo meccanico che si propagano nel mezzo stesso. Dal punto di vista della meccanica quantistica questo fenomeno viene visto come un'interazione fra i fotoni che compongono la luce con i fononi che compongono l'onda meccanica.
Questo tipo di scattering č ampiamente utilizzato in chimica (spettroscopia Raman) per studiare i modi rotazionali e vibrazionali delle molecole.
Un parametro fondamentale per descrivere lo scattering multiplo č il cammino libero medio , definito come la distanza media fra due eventi di urto successivi.
Data l'estrema complicazione matematica questi fenomeni vengono di solito trattati attraverso delle ipotesi semplificative.Approssimazione di mezzo efficiente
Approssimazione diffusiva
Nel caso di particelle classiche il processo diffusivo si ha come conseguenza del moto browiano che la particella segue a causa degli urti (statisticamente indipendenti) con le particelle che costituiscono il mezzo in cui si muove.Ottica mesoscopica
Quando il cammino libero medio č confrontabile con la lunghezza d'onda della luce o delle particelle scatterate le approssimazioni discusse qui sopra non sono piů valide. In questi casi gli effetti di interferenza giocano un ruolo cruciale e sorgono molti fenomeni controintuitivi e, ad oggi, soggetti ad un'intensa attivitĂ di ricerca.Il cono di retrodiffusione
La localizzazione di Anderson
Bibliografia
(sezione in fase di allestimento)
